Question

在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；

（2）求原来的路线AC的长．

Answer

（1）CH是从村庄C到河边的最近路，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为2.5千米．

【解析】

（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；

（2）根据勾股定理解答即可

（1）是，

理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9

BC2＝9

∴CH2+BH2＝BC2

∴CH⊥AB，

所以CH是从村庄C到河边的最近路

（2）设AC＝x

在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4

由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2

∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2

解这个方程，得x＝2.5，

答：原来的路线AC的长为2.5千米．