Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．

（1）求证：AM∥BC；

（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）△ADN是等腰直角三角形，理由见解析

【解析】

试题（1）已知AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD=，再由AM平分∠EAC，根据角平分线的定义可得∠EAM=∠MAC=，根据平角的定义可得∠MAD=90°，根据同旁内角互补，两直线平行即可判定AM∥BC；（2）△ADN是等腰直角三角形，由（1）可得△ADN是直角三角形，因AM∥AD，根据平行线的性质可得∠AND=∠NDC，再由DN平分∠ADC，根据角平分线的定义和等量代换可得∠ADN=∠NDC=∠AND，根据等腰三角形的判定定理可得AD=AN，结论得证.

试题解析：

（1）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=．

∵AM平分∠EAC，

∴∠EAM=∠MAC=．

∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==.

∵AD⊥BC,

∴ ,

∴∠MAD+,

∴AM∥BC.

（2）△ADN是等腰直角三角形,

理由是：∵AM∥AD,

∴∠AND=∠NDC，

∵DN平分∠ADC，

∴∠ADN=∠NDC=∠AND.

∴AD=AN．

∴△ADN是等腰直角三角形．