Question

（问题情境）

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

（探究展示）

(1)证明：AM=AD+MC；

(2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（拓展延伸）

(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

Answer

(1)证明见解析；(2)AM=DE+BM成立，证明见解析；(3)①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论AM=DE+BM不成立．

【解析】

（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，得到AD=CN，再证明AM=NM即可;（2）过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，

易证△ABF≌△ADE，从而证明AM=FM，即可得证；（3）AM=DE+BM需要四边形ABCD是正方形，故不成立，AM=AD+MC仍然成立.

(1)延长AE、BC交于点N，如图1(1)，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．

∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE(AAS)．∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．

(2)AM=DE+BM成立．

证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1(2)所示．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE(ASA)．

∴BF=DE，∠F=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．

∴∠F=∠FAM．

∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

(3)①结论AM=AD+MC仍然成立．②结论AM=DE+BM不成立．