Question

如图，直线分别与x轴、y轴交于两点，与直线交于点C（4，2）．

（1）点A坐标为（   ，   ），B为（   ，   ）；

（2）在线段上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形是平行四边形；

（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（8，0）；（0，4）．（2）故当时，四边形是平行四边形；（3）Q点坐标为、、或．

【解析】

（1）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l1的解析式，再分别令直线的解析式中求出对应的y、x值，即可得出点A、B的坐标；

（2）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，结合点E的横坐标即可得出点E、F的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；

（3）分为边和为对角线两种情况讨论．当为边时，根据菱形的性质找出点P的坐标，结合A、B的坐标即可得出点Q的坐标；当为对角线时，根据三角形相似找出点P的坐标，再根据菱形对角线互相平分即可得出点Q的坐标．综上即可得出结论．

【解析】
（1）将点C（4，2）代入中，

得：，解得：，

∴直线为．

令中，则，

∴B（0，4）；

令中，则，

∴A（8，0）．

（2）∵点C（4，2）是直线上的点，

∴，解得：，

∴直线为．

∵点E的横坐标为，

∴，

∴．

∵四边形是平行四边形，

∴，即，

解得：．

故当时，四边形是平行四边形．

（3）假设存在．

以为顶点的菱形分两种情况：

①以为边，如图1所示．

∵点A（8，0），B（0，4），

∴．

∵以为顶点的四边形为菱形，

∴或．

当时，或；

当时，点P（﹣8，0）．

当时，，即；

当P（）时，，即；

当时，，即．

②以为对角线，对角线的交点为M，如图2所示．

∵点，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点，即（3，0）．

∵以为顶点的四边形为菱形，

∴点，即（5，4）．

综上可知：若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q，使得四个点能构成一个菱形，此时Q点坐标为、、或．