Question

如图，矩形ABCD位于平面直角坐标系中，A、B在y轴上，且其坐标分别为A（0，a）和B（0，-b），D点坐标为（-c，a)，CD与x轴交于E. 其中a、b、c均为正数，且满足.

（1）请判断△ABD的形状并说明理由.

（2）如图，将图形沿AM折叠，使D落在x轴上F点，若现有一长度为a的线段，可与线段EF、OF构成直角三角形，求a的值.

（3）若P为x轴正半轴上一点，且满足∠APB=45°，请求出P点坐标.

Answer

（1）△ABD为等腰直角三角形（2）或（3）（6，0）

【解析】

（1）根据平方、绝对值、算术平方根的非负性分别计算出a、b、c，从而可求出AB=AD，再根据矩形的性质即可判断△ABD为等腰直角三角形；

（2）根据勾股定理先计算出EF和OF的长，然后根据构成直角三角形的条件由勾股定理可计算出a；

（3）在y轴上截取OM=ON=OP，易得△MOP、△NOP与△MNP均为等腰直角三角形，设MA=x，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质证明三角形BNQ为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理解出x，从而求出点P的坐标.

（1）由得

a-3=0，b-2=0，c-a-b=0，解得a=3，b=2，c=5，

则由题意知OA=3，OB=2，AD=5，

所以AB=OA+OB=5=AD，

由于ABCD为矩形，则AB⊥AD，所以△ABD为等腰直角三角形；

（2）由题意知，DE=OA=3，AF=AD=5

设OF=x，在△AOF中，，即

解得x=4，即OF=4，EF=OE-OF=1

若长度为a的线段可与线段EF、OF构成直角三角形，则由勾股定理得

或

解得或；

（3）如图：

在y轴上截取OM=ON=OP，易得△MOP、△NOP与△MNP均为等腰直角三角形，

设MA=x，则BN=x+1，OP=OM=x+3

将△PMA逆时针旋转90°，使PM与NP重合，A落在点Q处，

∴∠APQ=90°，

则△PNQ≌△PMA，PQ=PA,NQ=AM，

∵∠APQ=90°，∠APB=45°，

∴∠APB=∠BPQ=45°,

又∵PA=PQ,PB=PB，

∴△PBQ≌△PBA ,

∴BQ=AB=5,

∵∠PMA=∠PNQ=45°，

∴∠BNQ=∠PNB+∠PNQ=90°,

∴三角形BNQ为直角三角形，

则

即，解得

x=3（x=-4舍），则OP=x+3=6

所以P点坐标为（6，0）.