Question

如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.

(1) 求证：AHAB=AC²；

(2) 若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AEAF=AC²；

(3) 若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断APAQ=AC²是否成立(不必证明).

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）成立.

【解析】

（1）连接CB，证明△CAH∽△BAC即可；
（2）连接CF，证△AEC∽△ACF，根据射影定理即可证得；
（3）由（1）（2）的结论可知，AP•AQ=AC2成立．

(1) 连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.

而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC .

∴， 即AHAB=AC2 .

(2) 连结FB，易证△AHE∽△AFB，

∴ AEAF=AHAB，

∴ AEAF=AC2 .

(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)

(3) 结论APAQ=AC2成立 .