小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板MPN的一个锐角顶点P...

小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF．

（探究发现）

在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：______．

（拓展思考）

在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：______，并证明你的结论；

（创新应用）

若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．

（1）；（2），见解析；（3）或. 【解析】延长FD至G，使，连接AG，先证≌，再证≌即可；在DC上截取，连接AH，先证≌，再证≌△EAF即可；分两种情形分别求解即可解决问题．【解析】结论：．理由：延长FD至G，使，连接AG，如图，是正方形，，， ≌，，，，，，，， ≌，，，即：．故答案为：．结论：．理由：在DC上截取，连接AH，如图，，， ≌，，，，，，， ≌，，，．故答案为：．当MA经过BC的中点E时，由（1）（2）可知：设，则，．在中，，，．当NA经过BC的中点G时，由（1）（2）可知：设，则，，，，由勾股定理得到：，，．

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考点分析：

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