Question

如图，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、C，与反比列函数的图象在第一象限内交于点P，过点P作轴，垂足为B，且的面积为9．

点A的坐标为______，点C的坐标为______，点P的坐标为______；

已知点Q在反比例函数的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，使得的周长最小，求出点M的坐标；

设点E是反比例函数在第一象限内图象上的一动点，且点E在直线PB的右侧，过点E作轴，垂足为F，当和相似时，求动点E的坐标．

Answer

（1）；；；（2）当的周长最小时，点M的坐标为；（3）动点E的坐标为或

【解析】

利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，设点P的坐标为，由点P在一次函数的图象上及的面积为9，可得出关于a，b的二元二次方程，解之取其正值即可得出点P的坐标；

作点Q关于x轴的对称点，连接与x轴交于点M，连接QM，此时的周长最小，由点P的坐标可得出反比例函数解析式，结合点Q的横坐标可得出点Q，的坐标，由点P，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；

设点E的坐标为，则点F的坐标为，分∽和∽两种情况考虑：当∽时，利用相似三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出点E的坐标；当∽时，利用相似三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出点E的坐标综上，此题得解．

【解析】
当时，，

解得：，

点A的坐标为；

当时，，

点C的坐标为；

设点P的坐标为，则，

解得：，舍去，

点P的坐标为．

故答案为：；；．

如图1，作点Q关于x轴的对称点，连接与x轴交于点M，连接QM，此时的周长最小．

点在反比例函数图象上，

，即反比例函数解析式为，

点Q的坐标为，点的坐标为．

设直线的解析式为，

将，代入，得：，

解得：，

直线的解析式为．

当时，，

解得：，

点M的坐标为，

当的周长最小时，点M的坐标为．

设点E的坐标为，则点F的坐标为．

分两种情况考虑如图：

当∽时，，即，

解得：，舍去，

点E的坐标为；

当∽时，，即，

解得：，舍去，

点E的坐标为

综上所述：当和相似时，动点E的坐标为或