Question

a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如:2的差倒数是，现已知a₁=，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…

(1)求a₂，a₃，a₄的值；

(2)根据(1)的计算结果，请猜想并写出a₂₀₁₆•a₂₀₁₇•a₂₀₁₈的值；

(3)计算：a₃³+a₆⁶+a₉⁹+…+a₉₉⁹⁹的值．

Answer

（1）a2=2，a3=-1，a4=

（2）a2016•a2017•a2018= -1

（3）a33+a66+a99+…+a9999=-1

【解析】

(1)将a1=代入中即可求出a2，再将a2代入求出a3，同样求出a4即可.

(2)从（1）的计算结果可以看出，从a1开始，每三个数一循环，而2016÷3=672，则a2016=-1,a2017= ,a2018=2然后计算a2016•a2017•a2018的值；

(3)观察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，将-1代入，即可求出结果.

（1）将a1=，代入，得 ；

将a2=2，代入，得；

将a3=-1，代入，得.

（2）根据(1)的计算结果，从a1开始，每三个数一循环，

而2016÷3=672，则a2016=-1,a2017= ,a2018=2

所以，a2016•a2017•a2018=（-1）××2= -1

（3）观察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，将-1代入，

a33+a66+a99+…+a9999

=（-1）3+（-1）6+（-1）9+…+（-1）99

=（-1）+1+（-1）+…(-1)

=-1