Question

如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．

（1）m=　　；

（2）求点C的坐标；

（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）4；（2）C的坐标为（3，0）；（3）（﹣2，0）．

【解析】试题（1）把点代入求值.(2)先利用反比例函数求出A，B，点坐标，再利用待定系数法求直线方程.(3)假设存在E点，因为ACD是直角三角形，假设ABE也是直角三角形，利用勾股定理分别计算A,B，C,是直角时AB长度，均与已知矛盾，所以不存在.

试题解析：

【解析】
（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴m=1×4=4，

故答案为：4．

（2）∵点B（2，a）在反比例函数y=的图象上，

∴a==2，

∴B（2，2）．

设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b，

∴，解得：，

∴过点A、B的直线的解析式为y=﹣2x+6．

当y=0时，有﹣2x+6=0，

解得：x=3，

∴点C的坐标为（3，0）．

（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0）．

①当∠ABE=90°时（如图1所示），

∵A（1，4），B（2，2），C（3，0），

∴B是AC的中点，

∴EB垂直平分AC，EA=EC=n+3．

由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，即42+（x+1）2=（x+3）2，

解得：x=﹣2，

此时点E的坐标为（﹣2，0）；

②当∠BAE=90°时，∠ABE＞∠ACD，

故△EBA与△ACD不可能相似；

③当∠AEB=90°时，∵A（1，4），B（2，2），

∴AB=，2＞，

∴以AB为直径作圆与x轴无交点（如图3），

∴不存在∠AEB=90°．

综上可知：在x轴上存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似，点E的坐标为（﹣2，0）．