Question

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）B点坐标为　　，并求抛物线的解析式；

（2）求线段PC长的最大值；

（3）若△PAC为直角三角形，直接写出此时点P的坐标．

Answer

（1）(4,6)；y=2x2﹣8x+6（2）；（3）点P的坐标为（3，5）或（）．

【解析】

（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．

（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．

（3）根据顶点问题分情况讨论，若点P为直角顶点，此图形不存在，若点A为直角顶点，根据已知解析式与点坐标，可求出未知解析式，再联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；若点C为直角顶点，可根据点的对称性求出结论.

【解析】
（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，

∴m=4+2=6，

∴B（4，6），

故答案为：（4，6）；

∵A（，），B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6；

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），

=﹣2n2+9n﹣4，

=﹣2（n﹣）2+，

∵PC＞0，

∴当n=时，线段PC最大且为．

（3）∵△PAC为直角三角形，

i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．

由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；

ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．

如图1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．

过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，

∴MN=AN=，

∴OM=ON+MN=+=3，

∴M（3，0）．

设直线AM的解析式为：y=kx+b，

则：，解得，

∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①

又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②

联立①②式，

解得：或（与点A重合，舍去），

∴C（3，0），即点C、M点重合．

当x=3时，y=x+2=5，

∴P1（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．

∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，

∴抛物线的对称轴为直线x=2．

如图2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，

则点C在抛物线上，且C（，）．

当x=时，y=x+2=．

∴P2（，）．

∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，

∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．