Question

如图所示．在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB=2∠APB；②S_△PAC：S_△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF=∠CPF．其中，正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer

D

【解析】

①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．

①∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE－2∠PAB=2（∠PBE－∠PAB）=2∠APB.

②∵AP平分∠BAC，

∴P到AC，AB的距离相等，

∴S△PAC:S△PAB=AC:AB，

③∵BE=BC，BP平分∠CBE，

∴BP垂直平分CE(三线合一)，

④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，

∴∠DCP=∠BCP，

又∵PG∥AD，

∴∠FPC=∠DCP，

故①②③④都正确.

故答案选：D.