Question

如图所示，在等边三角形ABC中，BC=8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）填空：①当t为　　s时，四边形ACFE是菱形；

②当t为　　s时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．

Answer

（1）证明见解析；（2）①8；②或．

【解析】

（1）判断出△ADE≌△CDF得出AE＝CF，即可得出结论；

（2）①先求出AC＝BC＝8，进而判断出AE＝CF＝AC＝8，即可得出结论；

②先判断出△ACE和△ACF的边AE和CF上的高相等，进而判断出AE＝2CF，再分两种情况，建立方程求解即可得出结论．

【解析】
（1）如图1．

∵AG∥BC，

∴∠EAC=∠FCA，∠AED=∠CFD．

∵EF经过AC边的中点D，

∴AD=CD，

∴△ADE≌△CDF（AAS），

∴AE=CF．

∵AE∥FC，

∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）①如图2．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=8．

∵四边形ACFE是菱形，

∴AE=CF=AC=BC=8，且点F在BC延长线上，由运动知，AE=t，BF=2t，

∴CF=2t﹣8，t=8，将t=8代入CF=2t﹣8中，

得CF=8=AC=AE，符合题意，即：t=8秒时，四边形ACFE是菱形．

故答案为：8；

②设平行线AG与BC的距离为h，

∴△ACE边AE上的高为h，△ACF的边CF上的高为h．

∵△ACE的面积是△ACF的面积的2倍，

∴AE=2CF，当点F在线段BC上时（0＜t＜4），CF=8﹣2t，AE=t，

∴t=2（8﹣2t），

∴

当点F在BC的延长线上时（t＞4），CF=2t﹣8，AE=t，

∴t=2（2t﹣8），

∴

即：t=秒或秒时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．

故答案为：或．