Question

如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　)

A. 30°    B. 45°    C. 60°    D. 90°

Answer

D

【解析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），

因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，

作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，

根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小．

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AF=CF，

∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，

∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），

作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，

∵CA=CM，∠ACM=60°，

∴△ACM是等边三角形，

∵AF=CF，

∴FM⊥AC，

∴∠CFE′=90°，

故选：D．