Question

如图BD为△ABC的角平分线，且BD=BC， E为BD延长线上一点，BE=BA，

过E作EF⊥AB于F，下列结论：

①△ABD≌△EBC ;②∠BCE+∠BDC=180°；

③AD=AE=EC；④AB//CE ；

⑤BA+BC=2BF.其中正确的是________________.

Answer

①②③⑤

【解析】①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，

∴在△ABD和△EBC中， ，

∴△ABD≌△EBC(SAS)，故①正确；

②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，

∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；

③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACE为等腰三角形，

∴AE=EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD=EC，

∴AD=AE=EC，故③正确；

⑤过E作EG⊥BC于G点，

∵E是BD上的点，∴EF=EG，

∵在RT△BEG和RT△BEF中， ，

∴RT△BEG≌RT△BEF(HL)，

∴BG=BF，

∵在RT△CEG和RT△AFE中， ，

∴RT△CEG≌RT△AFE(HL)，

∴AF=CG，

∴BA+BC=BF+FA+BG−CG=BF+BG=2BF，故⑤正确；

无法证明④正确.

故答案为：①②③⑤.