Question

如图，在中，，点在内，，，点在外，，．

（1）求的度数；

（2）判断的形状并加以证明；

（3）连接，若，，求的长．

Answer

(1) 150°;(2) △ABE是等边三角形,理由见解析;(3)4

【解析】

（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB=∠ADC即可解决问题．
（2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可．
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．

（1）【解析】
∵BD=BC，∠DBC=60°，

∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，

在△ADB和△ADC中，

，

∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB=（360°﹣60°）=150°．

（2）【解析】
结论：△ABE是等边三角形．

理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE，

在△ABD和△EBC中，

，

∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形．

（3）【解析】
连接DE．

∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，

∴∠EDC=30°，∴EC=DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4．