Question

在平面直角坐标系中，点，点是轴上两点，其中，点都在轴上，在射线上（不与点重合），，连结．

（1）求、的坐标；

（2）如图，若在轴正半轴，在线段上，当时，求证：为等边三角形；（提示：连结）

（3）当时，在图中画出示意图，设，若，求的值．

Answer

(1) A（﹣4，0），B（4，0）；(2)见解析;(3) 10或6

【解析】

（1）由a2+2ab+b2+|b-4|=0，得出（a+b）2+|b-4|=0，再根据非负数的性质，得出a=-4，b=4，即可得到A（-4，0），B（4，0）；
（2）连接AD并延长至F，根据等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得出∠BDF=∠DAO+∠DBO=2∠DAO，∠EDF=2∠DAE，进而得到∠EDB=60°，再根据DE=DB，即可得出△BDE为等边三角形；
（3）分两种情况进行讨论：①当C在y轴正半轴时，②当C在y轴负半轴时，分别判定全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，分别求得n-m=4，m+n=-4，再根据mn=2，求得的值即可．

【解析】
（1）∵a2+2ab+b2+|b﹣4|=0，∴（a+b）2+|b﹣4|=0，

又∵（a+b）2≥0，|b﹣4|≥0，∴（a+b）2=0，|b﹣4|=0，

∴a=﹣4，b=4，∴A（﹣4，0），B（4，0）；

（2）证明：如图a，连接AD并延长至F，

∵A（﹣4，0），B（4，0），∴OA=OB，∵OD⊥AB，∴DA=DB，

∴∠DAO=∠DBO，∴∠BDF=∠DAO+∠DBO=2∠DAO，∵DA=DB，DE=DB，

∴DA=DE，同理可得∠EDF=2∠DAE，

∴∠BDF+∠EDF=2∠DAE+2∠DAO=2∠CAO=60°，即∠EDB=60°，

又∵DE=DB，∴△BDE为等边三角形；

（3）分两种情况：

①当C在y轴正半轴时，如图b所示，过点E作EG⊥y轴于点G，

则∠GED+∠GDE=90°，∵DE⊥DB，∴∠ODB+∠GDE=90°，∴∠GED=∠ODB，

又∵∠DGE=∠DOB=90°，DE=DB，

∴在△DGE和△BOD中，

，

∴△DGE≌△BOD（AAS）

∴OD=EG，DG=OB=4，

∵E（m，n），

∴OD=EG=m，OG=n，

由OG﹣OD=DG，得n﹣m=4，

∵mn=2，

∴=10；

②当C在y轴负半轴时，如图c所示，过点E作EG⊥y轴于点G，

同理可得，△DGE≌△BOD，

∴OD=EG，DG=OB=4，

∵E（m，n），

∴OD=EG=﹣m，OG=﹣n，

由OD+OG=DG，得﹣m+（﹣n）=4，则m+n=﹣4，

∵mn=2，

∴=6，

综上所述，的值为10或6．