Question

如图1，直线l₁：y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l₂：y=x交于点C．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）求△BOC的面积；

（3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO方向作匀速滑动，分别交直线l₁，l₂及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ．

①当OA=3MN时，求t的值；

②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

   

Answer

（1）A（6，0）B（0，3）；（2）S△OBC=3；（3）①t=或；②t=（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）构建方程组确定点C坐标即可解决问题；

（3）根据绝对值方程即可解决问题；

（4）分两种情形讨论：当OC为菱形的边时，可得Q1 Q2Q4（4，0）；当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0）；

（1）对于直线，令x=0得到y=3，令y=0，得到x=6，

A（6，0）B（0，3）．

（2）由解得 ，

∴C（2，2），

∴

（3）①∵

∴

∵OA=3MN，

∴

解得t=或

②如图3中，由题意

当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）；

当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0），

∴t=（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．