Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，

求证：（1）DF∥BC；

（2）FG＝FE．

Answer

（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；

（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF．

（1）证明：∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF＝∠DAF．

在△ACF和△ADF中，

∵，

∴△ACF≌△ADF（SAS）．

∴∠ACF＝∠ADF．

∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，

∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，

∴∠ACF＝∠B，

∴∠ADF＝∠B；

∴DF∥BC．

（2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，

∴FG⊥AC．

∵FE⊥AB，

又AF平分∠CAB，

∴FG＝FE．