Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．

（1）如图1，当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF；

（2）如图2，当EF与斜边BC相交时，其他条件不变，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，猜想EF、BE、CF之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2) EF= BE-CF，理由见解析；（3）EF=CF-BE，理由见解析.

【解析】

（1）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；

（2）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；

（3）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案．

（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠EBA，

在△ABE和△CAF中，

∴△BEA≌△AFC（AAS），

∴EA=FC，BE=AF，

∴EF=EA+AF=BE+CF．

（2）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠ABE，

在△ABE和△ACF中，

∴△BEA≌△AFC（AAS），

∴EA=FC，BE=AF，

∵EF=AF-AE，

∴EF=BE-CF．

（3）EF=CF-BE，

理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠ABE，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△BEA≌△AFC（AAS），

∴EA=FC，BE=CF，

∵EF=EA-AF，

∴EF=CF-BE．