Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：

(1)t为______时，△PBQ是等边三角形？

(2)P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．

Answer

(1)12；(2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形，理由见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质解答即可；

（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．

(1)要使，△PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．

∴AB=36cm，

可得：PB=36-2t，BQ=t，

即36-2t=t，

解得：t=12

故答案为；12

(2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形，

理由如下：

∵∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm

∴AB=2BC=18×2=36(cm)

∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发

∴BP=AB-AP=36-2t，BQ=t

∵△PBQ是直角三角形

∴BP=2BQ或BQ=2BP

当BP=2BQ时，

36-2t=2t

解得t=9

当BQ=2BP时，

t=2(36-2t)

解得t=

所以，当t为9或时，△PBQ是直角三角形．