Question

动手操作：

如图，已知AB∥CD，点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．

问题解决：

(1)若∠ACD=78°，求∠MAB的度数；

(2)若CN⊥AM，垂足为点N，求证：△CAN≌△CMN．

实验探究：

(3)直接写出当∠CAB的度数为多少时？△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形．

Answer

(1)∠MAB =51°；(2)证明见解析；(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形．当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形．

【解析】

（1）利用平行线的性质求出∠CAB，再根据角平分线的定义即可解决问题；

（2）根据AAS即可判断；

（3）根据等边三角形、等腰直角三角形的定义即可判定；

(1)∵AB∥CD，

∴∠ACD+∠CAB=180°，

又∵∠ACD=78°，

∴∠CAB=102°．

由作法知，AM是∠CAB的平分线，

∴∠MAB=∠CAB=51°；

(2)由作法知，AM平分∠CAB，

∴∠CAM=∠MAB．

∵AB∥CD，

∴∠MAB=∠CMA，

∴∠CAM=∠CMA，

∵CN⊥AM，

∴∠CNA=∠CNM=90°．

又∵CN=CN，

∴△CAN≌△CMN．

(3)当∠CAB为120°时，∠ACD=60°，AC=MC，△CAM为等边三角形．

当∠CAB为90°时，∠ACD=90°，AC=MC，△CAM为等腰直角三角形．