Question

如图1，正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点D出发沿DA向点A匀速运动，速度是1cm/s，同时，点Q从点A出发沿AB方向，向点B匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）

（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由

（2）设△PQC的面积为s（cm²），求s与t之间的函数关系式；

（3）如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使S_△QCM：S_△PCM=3：5？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）S=t2﹣2t+8（0＜t＜2）；（3）.

【解析】

由题意可得：由运动知，DP=t，AQ=2t，得出AP=4-t，BQ=4-2t，

（1）判断出AQ=AP，得出2t=4-t，即可；

（2）直接利用面积的和差即可得出结论；

（3）先判断 =，再得到，从而得出解方程即可得出结论．

【解析】
∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，

由运动知，DP=t，AQ=2t，

∴AP=4﹣t，BQ=4﹣2t，

（1）连接BD，如图1，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵PQ∥BD，

∴∠ABD=∠AQP，∠APQ=∠ADB，

∴∠APQ=∠AQP，

∴AQ=AP，

∴2t=4﹣t，

∴t=；

（2）S=S正方形ABCD﹣S△APQ﹣S△BCQ﹣S△CDP

=AB2﹣AQ×AP﹣BQ×BC﹣DP×CD

=16﹣×2t×（4﹣t）﹣×（4﹣2t）×4﹣t×4

=16+t2﹣4t﹣8+4t﹣2t

=t2﹣2t+8（0＜t＜2）；

（3）如图2，

过点C作CN⊥PQ于N，

∴S△MCQ=MQ×CN，S△MCP=MP×CN，

∵S△QCM：S△PCM=3：5，

∴ = ，

∴，

过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，

∵点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点，

∴MG=MH，

∴S△AMQ=AQ×MG，S△APM=AP×MH，

∴

∴

∴t= ．