Question

（探索发现）

如图1，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______．

（拓展应用）

如图2，在中，，BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值用含a、h的代数式表示；

（灵活应用）

如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角，直接写出该矩形的面积．

Answer

（1）；（2）（3）当时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567．

【解析】

（1）由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得；

（2）由△APN∽△ABC知，可得PN=a-，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN=，据此可得；

（3）结合图形过DE上的点P作PG⊥BC于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P作PH⊥AB，设PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知，据此求得EI=，PH=，再根据矩形BGPH的面积S=可得答案．

【解析】
、ED为中位线，

，，，，

又，

四边形FEDB是矩形，

则，

故答案为：；

，

∽，

，可得，

设，由，

当时，最大值为．

如图，过DE上的点P作于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P作于点H，

则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形，

设，则，

，，，，

，，

由∽知，

即，得，

，

则矩形BGPH的面积，

当时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567．