Question

如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．

（1）求二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；

（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短；（3）使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．

【解析】

（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；

（2）连接BC，交直线x=-1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；

（3）设点P的坐标为（-1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP=90°，∠CBP=90°，∠BPC=90°三种情况考虑，①当∠BCP=90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP=90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC=90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．

（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），

∴点A的坐标为（1，0）．

将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，

得：，

解得：，

∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．

∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，

∴AM＝BM．

∵点B，C，M三点共线，

∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．

设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），

将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，

得：，

解得：，

∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．

当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，

∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．

（3）设点P的坐标为（﹣1，m），

∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），

∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，

PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，

BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．

分三种情况考虑（如图2）：

①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，

∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，

解得：m＝4，

∴点P的坐标为（﹣1，4）；

②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，

∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，

解得：m＝﹣2，

∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；

③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，

∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，

整理得：m2﹣3m﹣2＝0，

解得：m1＝，m2＝，

∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．

综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．