Question

如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OB=OD，BF=DE，AE∥CF．

（1）求证：△OAE≌△OCF；

（2）若OA=OD，猜想：四边形ABCD的形状，请证明你的结论．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题（1）由AE∥CF，得到两对内错角相等，再由OB=OD，BF=DE，得到OE=OF，利用AAS即可得证；

（2）若OA=OD，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OA=OD，得到OB=OC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．

（1）证明：∵AE∥CF，

∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，

∵OB=OD，BF=DE，

∴OB﹣BF=OD﹣DE，

即OE=OF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△OAE≌△OCF（AAS）；

（2）若OA=OD，则四边形ABCD是矩形，理由为：

证明：∵△OAE≌△OCF，

∴OA=OC，

∵OD=OA，

∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，

∴四边形ABCD为矩形．