Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，BD平分∠ABC．

（1）若BD⊥CD，求∠C的度数；

（2）射线AP从AB位置开始，以每秒10°的速度绕点A逆时针旋转，6秒后AP与BD有何种位置关系？并说明理由．

（3）在（2）的条件下，AP旋转一圈回到AB处时停止运动，若射线AP与直线BD相交所成的角中较小的角为x°，当10＜x＜20，则旋转时间t（单位：秒）的取值范围是　   　．

Answer

（1）∠C＝60°；（2）PA⊥BD，理由见解析；（3）13＜t ＜14．

【解析】

（1）在Rt△BDC中，求出∠DBC即可；

（2）结论：PA⊥BD．如图2中，设AP交BD于H．只要证明∠AHB＝90°即可；

（3）如图3中，①当∠APD＝20°时，易知∠DAP＝30°﹣20°＝10°，推出∠BAP＝130°，此时t＝13秒．②当∠AP′D＝10°时，易知∠DAP′＝30°﹣10°＝20°，推出∠BAP＝140°，此时t＝14秒，由此即可判断.

【解析】
（1）如图1中，

∵AD∥BC，BD平分∠ABC，

∴∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，

∵∠A＝120°，

∴∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝30°，

∵BD⊥CD，

∴∠BDC＝90°，

∴∠C＝90°﹣∠DBC＝60°；

（2）结论：PA⊥BD．

理由：如图2中，设AP交BD于H．

由题意∠BAP＝6×10°＝60°，

∵∠ABD＝30°，

∴∠BAP+∠ABD＝90°，

∴∠AHB＝90°，

∴AP⊥BD．

（3）如图3中，

①当∠APD＝20°时，易知∠DAP＝30°﹣20°＝10°，

∴∠BAP＝130°，

此时t＝13秒．

②当∠AP′D＝10°时，易知∠DAP′＝30°﹣10°＝20°，

∴∠BAP＝140°，

此时t＝14秒，

∴当13＜t＜14时，10＜x＜20.

故答案为：（1）∠C＝60°；（2）PA⊥BD，理由见解析；（3）13＜t ＜14．