Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：

①EF=BE+CF；

②∠BOC=90°+∠A；

③点O到△ABC各边的距离相等；

④设OD=m，AE+AF=n，则．

其中正确的结论是____．（填序号）

Answer

①②③

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m，AE+AF=n,则△AEF的面积=，④错误.

在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°，故②∠BOC=90°+∠A正确；

在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，

∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF，

∴BE=OE,CF=OF,

∴EF=OE+OF=BE+CF，

即①EF=BE+CF正确；

过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于点N，连接AO，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ON=OD=OM=m，即③点O到△ABC各边的距离相等正确；

∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=AE·OM+AF·OD=OD·（AE+AF）=mn，故④错误；

故选①②③