Question

如图1，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α．

（1）求证：BE=AD；

（2）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．

Answer

（1）见解析（2）△CPQ为等腰直角三角形，理由见解析

【解析】

（1）易证△ACD≌△BCE，即可求证；

（2）先证明△ACP≌△BCQ，得CP=CQ,∠ACP=∠BCQ,再由∠ACB=90°，得出△PCQ为等腰直角三角形.

（1）如图1，∵∠ACB=∠DCE=α，

∴∠ACD=∠BCE，

又CA=CB，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴BE=AD；

（2）△CPQ为等腰直角三角形，

证明如图2，由（1）得BE=AD，

∵AD，BE的中点分别为点P、Q，

∴AP=BQ

∵△ACD≌△BCE

∴∠CAP=∠CBQ,

在△ACP和△BCQ中

∴△ACP≌△BCQ（SAS）

∴CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ

又∵∠ACP+∠PCB=90°，

∴∠BCQ+∠PCB=90°，

∴∠PCQ=90°，

∴△CPQ为等腰直角三角形.