Question

如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（3，0），B（0，4），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．

（1）点C的坐标为：　　　　；

（2）求证：BM=BN；

（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．

Answer

（1）（4,7）（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）过点C作CE⊥y轴于点E，根据AAS证明△AOB≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得到点C的坐标；

（2）根据全等三角形的性质和等量替换可得∠1=∠2，根据ASA证明△ABM≌△CBN，即可证得BM=BN；

（3）根据SAS证明△DAH≌△GAH，根据全等三角形的性质即可求解.

（1）过点C作CE⊥y轴于点E，故∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠AOB，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°

∴∠CBE=∠BAO

∴△AOB≌△BEC（AAS）

∴CE=OB=4，BE=OA=3，

∴OE=OB+BE=7，

∴C点坐标为（4,7）

（2）∵△AOB≌△BEC

∴BE=OA=OP,CE=BO，

∴PE=OB=CE，

∴∠EPC=45°，∠APC=90°，

∴∠1=∠2，

∴△ABM≌△CBN（ASA）

∴BM=BN,

（3）点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，

∴AD=AC,AG=AC,

∴AD=AG,

∵∠1=∠5，∠1=∠6，

∴∠5=∠6，

在△DAH与△GAH中

∴△DAH≌△GAH（SAS）

∴D，G关于x轴对称．