Question

如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．

（1）求证：AD²=DP•PC；

（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若=，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形PMBN是菱形，理由见解析；（3）

【解析】（1）过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；

（2）DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，从而可知PM=MB=AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；

（3）由于，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，从而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得，，从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，从而可得．

（1）过点P作PG⊥AB于点G，

∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，

∴AD=PG，DP=AG，GB=PC

∵∠APB=90°，

∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，

∴∠APG=∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴，

∴PG2=AG•GB，

即AD2=DP•PC；

（2）∵DP∥AB，

∴∠DPA=∠PAM，

由题意可知：∠DPA=∠APM，

∴∠PAM=∠APM，

∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，

即∠ABP=∠MPB

∴AM=PM，PM=MB，

∴PM=MB，

又易证四边形PMBN是平行四边形，

∴四边形PMBN是菱形；

（3）由于，

可设DP=k，AD=2k，

由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，

∵PG2=AG•GB，

∴4k2=k•GB，

∴GB=PC=4k，

AB=AG+GB=5k，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴，

又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB=,

∴

∴，

∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，

∴.