Question

如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．

（1）求证：DE为⊙O切线；

（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；

（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．

Answer

（1）证明见解析；（2）2；（3）PF=FD，证明见解析.

【解析】（1）如图1，连接OD、BD，根据圆周角定理得：∠ADB=90°，则AD⊥BD，OE⊥BD，由垂径定理得：BM=DM，证明△BOE≌△DOE，则∠ODE=∠OBE=90°，可得结论；

（2）设AP=a，根据三角函数得：AD=3a，由勾股定理得：PD=2a，在直角△OPD中，根据勾股定理列方程可得：32=（3-a）2+（2a）2，解出a的值可得AD的值；

（3）先证明△APF∽△ABE，得，由△ADP∽△OEB，得，可得PD=2PF，可得结论．

详证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，AD⊥BD，

∵OE∥AD，

∴OE⊥BD，

∴BM=DM，

∵OB=OD，

∴∠BOM=∠DOM，

∵OE=OE，

∴△BOE≌△DOE（SAS），

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴DE为⊙O切线；

（2）设AP=a，

∵sin∠ADP=，

∴AD=3a，

∴PD=，

∵OP=3-a，

∴OD2=OP2+PD2，

∴32=（3-a）2+（2a）2，

9=9-6a+a2+8a2，

a1=，a2=0（舍），

当a=时，AD=3a=2，

∴AD=2；

（3）PF=FD，

理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，

∴△APF∽△ABE，

∴，

∴PF=，

∵OE∥AD，

∴∠BOE=∠PAD，

∵∠OBE=∠APD=90°，

∴△ADP∽△OEB，

∴，

∴PD=，

∵AB=2OB，

∴PD=2PF，

∴PF=FD．