Question

如图1，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为．

（1）求直线的解析式；

（2）点是坐标轴上的一个点，若为直角边构造直角三角形，请求出满足条件的所有点的坐标；

（3）如图 2，以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴与点，射线交轴的负半轴与点，当绕点旋转时，的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程） ．

Answer

(1) ;(2) 或或；(3)8.

【解析】

（1）由A、B两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB的解析式；

（2）分别过A、B两点作AB的垂线，与坐标轴的交点即为所求的M点，再结合相似三角形的性质求得OM的长即可求得点M的坐标；

（3）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、H，可证明，可得到，从而可把OC-OD利用线段的和差转化为 =8；

【解析】

（1）设直线的解析式为：．

点，点在直线上，

，解得，

直线的解析式为：；

（2）是以为直角边的直角三角形，

有或，

①当时，如图1，

过作的垂线，交轴于点，交轴于点，

则可知，

，

由（1）可知，

，解得，

，

，

轴，

，即，解得，

；

②当时，如图2，

过作的垂线，交轴于点，

设直线交轴于点，则由（1）可知，

，，

由题意可知△，

，即，解得，

，

综上可知点的坐标为或或；

（3）不变 ．

理由如下：

过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图3．

则，

又，

，

，

，

，

．

，

．

在和中

，

，

．

．

故的值不发生变化，值为8．