Question

如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．

Answer

(1)证明见解析，（2）2.

【解析】试题（1）根据平行四边形的性质得出∠OBE =∠ODF，从而得出△OBE和△ODF全等，从而得出答案；（2）根据EF⊥AB，AB ∥DC得出∠GEA=∠GFD=90°，根据∠A的度数得出AE=GE，根据垂直得出OF=FG=1，根据三角形全等得出OE=OF=1，从而根据GE=OE+OF+FG得出答案.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB ∴∠OBE =∠ODF．

在△OBE与△ODF中， ∵∴△OBE≌△ODF（AAS） ∴BO=DO

（2）∵EF⊥AB，AB ∥DC， ∴∠GEA=∠GFD=90° ∵∠A=45°， ∴∠G=∠A=45°

∴AE=GE ∵BD⊥AD， ∴∠ADB=∠GDO=90° ∴∠GOD=∠G=45° ∴DG=DO

∴OF="FG=" 1 由（1）可知，OE=OF=1 ∴GE=OE+OF+FG=3 ∴AE=3