Question

已知，如图△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．

（1）猜想：DF与AE的关系是     ；

（2）试说明你猜想的正确性．

Answer

（1）互相平分；（2）见解析.

【解析】

试题（1）DF与AE互相平分．

（2）由已知可得四边形BDFE是平行四边形，从而可得BD=EF，由中点的定义可得AD=BD，再根据平行线的性质即可得到∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，从而可利用ASA判定△ADO≌△EFO，根据全等三角形的对应边相等即可得到OD=OF，OA=OE，即得到AE与DF互相平分，或连接AF、DE，然后证明四边形DEFA是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分证明．

【解析】
（1）DF与AE互相平分；

∵D是AB的中点，

∴AD=BD，

∵EF∥AB，DF∥BE，

∴四边形BEFD是平行四边形，

∴EF=BD=AD，

∵EF∥AB，

∴EF∥AD，

∵EF∥AD，EF=AD，

∴四边形AFED是平行四边形，

∴DF、AE是平行四边形AFED的对角线，

∴DF、AE互相平分；

（2）∵EF∥AB，DF∥BE，

∴四边形BDFE是平行四边形，

∴BD=EF，

∵D是AB的中点，

∴AD=BD，

∴EF=AD，

∵EF∥AB，

∴∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，

在△ADO和△EFO中，

∵，

∴△ADO≌△EFO，

∴OD=OF，OA=OE，

即AE与DF互相平分；

或连接AF、DE．