Question

已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．

（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？

（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；

（3）△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．

Answer

（1）5；（2）3；（3）P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）．

【解析】

试题（1）根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值．

（2）要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．

（3）当P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5时分别作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理求得P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐标．

试题解析：（1）∵四边形PODB是平行四边形，

∴PB=OD=5，

∴PC=5，

∴t=5；

（2）∵四边形ODQP为菱形，

∴OD=OP=PQ=5，

∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：

PC=3

∴t=3；

（3）当P1O=OD=5时，由勾股定理可以求得P1C=3，

P2O=P2D时，作P2E⊥OA，

∴OE=ED=2.5；

当P3D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F=3，

∴P3C=2；

当P4D=OD=5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得

DG=3，

∴OG=8．

∴P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）．