Question

在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H(点H与点D不重合)．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．

（感知）（1）如图①，当点H与点C重合时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．

（探究）（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由．

（应用）（3）在图②中，当DF=3，CE=5时，直接利用探究的结论，求AB的长．

 

Answer

[感知] FG=FD，理由见解析；

[探究]成立，理由见解析；

[应用] .

【解析】

[感知]运用折叠的性质可证明△AGF≌△ADF，从而得到FG=FD；

[探究] 运用折叠的性质可证明△AGF≌△ADF，从而得到FG=FD；

[应用] 由[探究]中的结论，可设AB=x，则FC=x-3，FE=x，然后在Rt△ECF中，根据勾股定理求解即可.

[感知]猜想：FG=FD.

证明：如图所示：

连接AF，

由折叠的性质可得AB=AG=AD，

在Rt△AGF和Rt△ADF中，

,

∴△AGF≌△ADF，

故可得FG=FD；

[探究] 当点H为边CD上任意一点时，（1）中结论仍然成立.

证明：如图所示：

连接AF，

由折叠的性质可得AB=AG=AD，

在Rt△AGF和Rt△ADF中，

,

∴△AGF≌△ADF．

∴FG=FD，

故当点H为边CD上任意一点时，（1）中的结论仍然成立；

[应用]设AB=x，则FC=x-3，FE=x，

在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即x2=（x-3）2+52，

解得x=．

即AB的长为．