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我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这...

我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称____     ___,___       ;(2分)

(2)如图,已知格点(小正方形的顶点),请你直接写出所有以格点为顶点,为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点M的坐标。(3分)

(3)如图,将绕顶点按顺时针方向旋转,得到,连结.求证:,即四边形是勾股四边形.(4分)

 

(1)正方形、长方形、直角梯形.(任选两个均可)(2)M(3,4)或M′(4,3)(3)证明见解析 【解析】(1)【解析】 正方形、长方形、直角梯形.(任选两个均可) (2)【解析】 答案如图所示.M(3,4)或M′(4,3). (3)证明:连接EC, ∵△ABC≌△DBE, ∴AC=DE,BC=BE, ∵∠CBE=60°, ∴EC=BC,∠BCE=60°, ∵∠DCB=30°, ∴∠DCE=90°, ∴DC2+EC2=DE2, ∴DC2+BC2=AC2. 即四边形ABCD是勾股四边形. (1)只要四边形中有一个角是直角,根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方,即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,由此可知,正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形. (2)OM=AB知以格点为顶点的M共两个:M(3,4)或M(4,3). (3)欲证明DC2+BC2=AC2,只需证明∠DCE=90度.  
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考点分析:
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在正方形ABCD中,过点A引射线AH,交边CD于点H(H与点D不重合).通过翻折,使点B落在射线AH上的点G处,折痕AEBCE,延长EGCDF

(感知)(1)如图①,当点H与点C重合时,猜想FGFD的数量关系,并说明理由.

(探究)(2)如图②,当点H为边CD上任意一点时,(1)中结论是否仍然成立?请说明理由.

(应用)(3)在图②中,当DF=3CE=5时,直接利用探究的结论,求AB的长.

 

 

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已知,如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动.

(1)当t为何值时,四边形PODB是平行四边形?

(2)在线段PB上是否存在一点Q,使得ODQP为菱形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由;

(3)OPD为等腰三角形时,写出点P的坐标(不必写过程).

 

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四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.

(1)求证:ADE≌△ABF;

(2)填空:ABF可以由ADE绕旋转中心    点,按顺时针方向旋转    度得到;

(3)若BC=8,DE=6,求AEF的面积.

 

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如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处,已知AD=10,CD=4,B′D=2.

(1)求证:B′E=BF;

(2)求AE的长.

 

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如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.

求证:(1)ABE≌△CDF;

(2)四边形BFDE是平行四边形.

 

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