Question

旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题.已知，中，，，点、在边上，且.

（1）如图，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，

①求的度数；

②求证：；

（2）如图，当时，猜想、、的数量关系，并说明理由；

（3）如图，当，，时，请直接写出的长为________.

Answer

（1）①，②见解析；（2）；见解析，（3）.

【解析】

（1）①由旋转得，，，通过求出∠BAD+∠CAE=30°，即可得答案；②通过证明∠DAF=∠DAE，利用SAS即可证明△ADE≌△ADF；（2）如图，将绕点顺时针旋转到的位置，连接根据等腰直角三角形的性质可得∠C=∠ABC=45°，由旋转的性质可得，，即可证明∠DBF=90°，由（1）可知△ADE≌△ADF，可得DF=DE，根据勾股定理即可得答案；（3）如图，将绕点顺时针旋转120°到△AGB的位置，连接，过D作DH⊥BG于H，同（2）可得∠GBD=60°，DG=DE，可得∠BDH=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BH的长，即可得GH的长，利用勾股定理可得DH的长，在Rt△DHG中，利用勾股定理求出DG的长，进而根据△AGD≌△AEC即可得答案.

（1）①由旋转得，，，

∵

∴

②∵∠DAE=30°，∠DAF=30°，

∴∠DAF=∠DAE

在和中

∴

（2）

如图，将绕点顺时针旋转到的位置，连接

∴，

由（1）得

∴

∵，

∴

∴

∴在中，

∴

（3）如图，将绕点顺时针旋转120°到△AGB的位置，连接过D作DH⊥BG于H，

∴BG=CE=5，∠C=∠ABG，

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠C=∠ABC=30°，

∴∠GBD=∠ABG+∠ABC=30°+30°=60°，

∵DH⊥BG，

∴∠BDH=30°，

∴BH=BD=4×=2，DH===2，

∴GH=BG-BH=5-2=3，

由（1）可知△AGD≌△AEC，

∴DG=DE，

在Rt△DHG中，DG===，

∴DE=DG=.

故答案为：