Question

正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE．

（1）已知点F在线段BC上．

①若AB=BE，求∠DAE度数；

②求证：CE=EF；

（2）已知正方形边长为2，且BC=2BF，请直接写出线段DE的长．

Answer

（1）①22.5°；②证明见解析；（2）或．

【解析】

(1)①先求得∠ABE的度数，然后依据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BAE的度数，然后可求得∠DAE度数；

②先利用正方形的对称性可得到∠BAE=∠BCE，然后在证明又∠BAE=∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE=∠EFC；

(2)当点F在BC上时，过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M.依据等腰三角形的性质可得到FN=CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；当点F在CB的延长线上时，先根据题意画出图形，然后再证明EF=EC，然后再按照上述思路进行解答即可．

(1)①∵ABCD为正方形，∴∠ABE=45°，

又∵AB=BE，∴∠BAE(180°﹣45°)=67.5°，

∴∠DAE=90°﹣67.5°=22.5°；

②∵正方形ABCD关于BD对称，

∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE，

又∵∠ABC=∠AEF=90°，∴∠BAE=∠EFC，∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF；

(2)如图1，过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M，

∵CE=EF，∴N是CF的中点，

∵BC=2BF，∴，

又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，

∴CN=DM=ME，

∴EDDMCN；

如图2，过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M，

∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE，

又∵∠ABF=∠AEF=90°，∴∠BAE=∠EFC，

∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF，∴FN=CN，

又∵BC=2BF，∴FC=3，∴CN，∴EN=BN，∴DE，

综上所述：ED的长为或.