Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，则下列四个结论中，错误的是（    ）

A. △AEF～△CAB B. CF=2AF C. DF=DC D. tan∠CAD=

Answer

D

【解析】

根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故A正确；根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故B正确；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故C正确；设AE=a，AB=CD=b，则AD=2a，通过证明△BAE∽△ADC，可得=，进而可得b=a，根据正切的定义可得tan∠CAD===，即可证明D错误.

如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故A正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴=，

∵AE=AD=BC，

∴=，

∴CF=2AF，故B正确；

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故C正确；

设AE=a，AB=CD=b，则AD=2a，

∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠FAE，

∵∠AFE=∠ADC=90°，

∴△BAE∽△ADC，

∴，即=，

∴b=a，

∴tan∠CAD===，故D错误；

故选D.