Question

如图，点C在AB为直径的圆O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交圆O于点E.

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）连接BE，若BE=6，sin∠CAD=，求圆O的半径.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）如图，连接OC，由切线性质及AD⊥CD可得AD//OC，得到∠DAC=∠ACO，根据等腰三角形的性质可得∠ACO=∠CAO，即可证明AC平分∠DAB；（2）如图，连接BE、BC，BE交OC于F，由∠D=∠DEB=∠DCF=90°，可得四边形DEFC是矩形，由垂径定理可知EF=BE=3，进而可得CD=EF=3，根据∠CAD的正弦值可求出AC的长，由圆周角定理可得∠ACB=90°，利用∠BAC的三角函数值即可求出AB的长，即可得答案.

（1）如图，连接OC，

∵CD是⊙O的切线，OC为半径，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD//OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠DAB.

（2）如图，连接BE、BC，BE交OC于F，

∵AB是直径，∠AEB、∠ACB是AB所对圆周角，

∴∠AEB=90°，∠ACB=90°，

∵∠EDC=∠FCD=∠DEF=90°，

∴四边形DEFC是矩形，

∵OF⊥BE，OC是半径，BE是弦，

∴EF=BE=3，

∴CD=EF=3，

∵sin∠CAD==，

∴AC=5，

∵sin∠CAD=，

∴cos∠CAD==，

∵∠CAD=∠CAB，

∴cos∠CAB=cos∠CAD==，

∴AB=，

∴OA=AB=.