Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证：AB•CP＝BD•CD；

（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）PC=.

【解析】

（1）连接OD,证明OD⊥PD即可．
（2）先判断出∠BAD＝∠PDC，再判断出∠ABD＝∠PCD，即可得出结论；

（3）利用勾股定理求出BC，BD，CD，再利用（2）中结论即可解决问题．

（1）证明：连接OD．

∵∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴∠BOD＝∠COD＝90°，

∵BC∥PA，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°，

∴OD⊥PA，

∴PD是⊙O的切线．

（2）证明：∵BC∥PD，

∴∠PDC＝∠BCD．

∵∠BCD＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠PDC，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，

∴∠ABD＝∠PCD，

∴△BAD∽△CDP，

∴，

∴AB•CP＝BD•CD．

（3）【解析】
∵BC是直径，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°，

∵AB＝5，AC＝12，

∴BC＝＝13，

∴BD＝CD＝，

∵AB•CP＝BD•CD．

∴PC＝．