Question

已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过点（2，-5），顶点坐标为（-1，4），直线l的解析式为y=2x+m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与直线l有两个公共点，求的取值范围；

（3）若直线l与抛物线只有一个公共点P，求点P的坐标；

（4）设抛物线与轴的交点分别为A、B，求在（3）的条件下△PAB的面积.

Answer

（1）y=-x2-2x+3；（2）当m＜7时，抛物线与直线l有两个公共点；（3）点P的坐标为（-2，3）；（4）SPAB=6．

【解析】

（1）由抛物线顶点坐标可得二次函数y=a（x+1）2+4，将点（2，-5）代入，即可得到抛物线的解析式，

（2）由抛物线的解析式及直线l的解析式联立，利用△即可求出抛物线与直线l有两个公共点m的取值范围，

（3）由抛物线的解析式及直线l的解析式联立，利用△=0时求出m的值，再联立即可求出点P的坐标，

（4）抛物线的解析式求出AB的长，利用S△PAB=AB•P纵坐标，即可求出△PAB的面积．

【解析】
（1）∵抛物线顶点坐标为（-1，4），

∴它的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（2，-5）代入，得a=-1．

∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．

（2）由 ，

得x2-4x+m-3=0，

∴△=16-4（m-3）=-4m+28．

当-4m+28＞0时，解得m＜7．

即当m＜7时，抛物线与直线l有两个公共点．

（3）由（2）知：当抛物线与直线l只有一个公共点时，m=7，

由

解得，

即点P的坐标为（-2，3）．

（4）∵抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．抛物线与x轴的交点分别为A、B，

∴令0=-x2-2x+3，得x1=-3，x2=1，

∴AB=4，

∴S△PAB=AB•P纵坐标=×4×3=6．