Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与x轴交于点B，，直线CD与y轴交于点D，与x轴交于点，，直线AB与直线CD交于点Q，E为直线CD上一动点，过点E作x轴的垂线，交直线AB于点M，交x轴于点N，连接AE、BE．

求直线AB、CD的解析式及点Q的坐标；

当E点运动到Q点的右侧，且的面积为时，在y轴上有一动点P，直线AB上有一动点R，当的周长最小时，求点P的坐标及周长的最小值．

在问的条件下，如图2将绕着点B逆时针旋转得到，使点M与点G重合，点N与点H重合，再将沿着直线AB平移，记平移中的为，在平移过程中，设直线与x轴交于点F，是否存在这样的点F，使得为等腰三角形？若存在，求出此时点F的坐标；若不存在，说明理由

Answer

（1）点Q坐标为；（2）周长的最小值，最小值为；（3）点F的坐标为．

【解析】

，直线CD表达式的k值为，即可求解直线CD的表达式；同理可得直线AB的表达式，联立两个表达式，即可求解点Q的坐标；

，求出点N坐标；作N点的两个对称点、，连接交AB于点R交y轴于点P，此时，周长的最小值，求解即可；

是底角为的当腰三角形，为等腰三角形，即可求解．

点，，，直线CD表达式的k值为，

则直线CD的表达式为：，将点C坐标代入上式并解得：，

故：直线CD的表达式为：，

同理可得直线AB的表达式为：，，

联立并解得：，即点Q坐标为；

如图所示，设点E的坐标为，则点，

，

解得：，即点N坐标为，点，

作点N关于直线AB和y轴的对称点、，连接交AB于点R交y轴于点P，

此时，周长的最小值，最小值为：的长度，

，关于直线AB对称，，

为边长为3的等边三角形，三角形高为：，

则点的坐标为，点，

则直线的表达式为：，即点P坐标，

周长的最小值，最小值为；

如图2，将绕着点B逆时针旋转得到，

此时，即点GM关于x轴对称，则点，，

图形平移为 时，，

即是底角为的等腰三角形，而为等腰三角形，只能，

，，

故点F的坐标为．