Question

如图，正方形A₁ABC的边长为1，正方形A₂A₁B₁C₁边长为2．正方形A₃A₂B₂C₂边长为4，…依此规律继续做正方形A_n+1A_nB_n∁_n，其中点A，A₁，A₂，A₃，…在同一条直线上，连接AC₁交A₁B₁于点D₁，连接A₁C₂交A₂B₂于点D₂，…，若记△AA₁D₁的面积为S₁，△A₁A₂D₂的面积为S₂…，△A_n﹣1A_nD_n的面积为S_n，则S₂₀₁₉＝_____．

Answer

【解析】

首先证明△AA1D1∽△A1A2D2，得到，求出S1、S2、S3、…探究规律后即可解决问题．

【解析】
如图，∵A1D1∥A2C1，

∴，

∴，

∴A1D1＝，

同理可得：A2D2＝，

∴，

∵∠AA1D1＝∠A1A2D2＝90°，

∴△AA1D1∽△A1A2D2，

∴，

∵S1＝×1×＝，

∴S2＝×4，

S3＝×42，

…

Sn＝ ×4n﹣1＝．

∴S2019＝．

故答案为：．