Question

如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4．

（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；

（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标．

Answer

（1）y＝ ，y＝2x+2；（2）存在，（﹣1，）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．

【解析】

（1）根据题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）设P（-1，a），如图1，当∠PAO=90°，如图2，当∠APO=90°，根据勾股定理列方程即可得到结论．

【解析】
（1）∵BM＝OM＝2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），

设反比例函数的解析式为y＝ ，

则﹣2＝，

得k＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝ ，

∵点A的纵坐标是4，

∴4＝，

得x＝1，

∴点A的坐标为（1，4），

∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），

∴ ，

解得： ，

即一次函数的解析式为y＝2x+2；

（2）存在，

∵直线AB于x轴交于D，

∴D（﹣1，0），

∴OD＝1，

设P（﹣1，a），

如图1，当∠PAO＝90°，

∵OP2＝PA2+OA2＝PD2+OD2，

∴（1+1）2+（4﹣a）2+12+42＝12+a2，

解得：a＝ ，

∴P（﹣1， ），

如图2，当∠APO＝90°，

∵OP2＝OA2﹣PA2＝PD2+OD2，

∴12+42﹣[（1+1）2+（4﹣a）2]＝12+a2，

解得：a＝2± ，

∴P（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣），

综上所述，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．

故答案为：（1）y＝ ，y＝2x+2；（2）存在，（﹣1，）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．