Question

如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上的点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，过点C作CG∥EF交BA（或其延长线）于点G，连接DF，FG．

（1）FG与CE的数量关系是     ，位置关系是     ．

（2）如图2，若点E是CB延长线上的点，其它条件不变．

①（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断，并给予证明；

②DE，DF分别交BG于点M，N，若BC＝2BE，求．

Answer

（1）FG＝EC，FG∥EC．（2）①结论不变，见解析，②＝．

【解析】

（1）结论：FG=EC，FG∥EC．证明四边形ECGF是平行四边形即可．
（2）①结论不变．证明四边形ECGF是平行四边形即可．
②如图2-1中，延长AG到H，使得AH=AD，连接DH，BD，在BC上截取一点K，使得BK=HN，连接MK，DK．首先证明MB=BK，设BC=a，MN=b，求出BM，BK，在Rt△BMK中，利用勾股定理即可解决问题．

【解析】
（1）结论：FG＝EC，FG∥EC．

理由：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠FEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，

∴∠FEB＝∠EDC，

∵CG∥EF，

∴∠GCB＝∠FEB＝∠EDC，

∴△GCB≌△EDC（ASA），

∴CG＝DE，

∵EF＝DE，

∴CG＝EF，∵CG∥EF，

∴四边形ECGF是平行四边形，

∴FG＝EC，FG∥EC．

（2）①结论不变．

理由：延长CE到H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠CBG＝∠DCE＝90°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠FEH+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，

∴∠FEH＝∠EDC，

∵CG∥EF，

∴∠GCB＝∠FEH＝∠EDC，

∴△GCB≌△EDC（ASA），

∴CG＝DE，

∵EF＝DE，

∴CG＝EF，∵CG∥EF，

∴四边形ECGF是平行四边形，

∴FG＝EC，FG∥EC．

②如图2﹣1中，延长AG到H，使得AH＝AD，连接DH，BD，在BC上截取一点K，使得BK＝HN，连接MK，DK．

∵AH＝AD＝AB，DA⊥BH，

∴DH＝DB，∠HDB＝90°，

∵BK＝HN，∠H＝∠DBK＝45°，

∴△NHD≌△KBD（SAS），

∴DN＝DK，∠HDN＝∠BDK，

∴∠HDB＝∠NDK＝90°，

∵∠MDN＝45°，

∴∠NDM＝∠KDM＝45°，

∵DM＝DM，

∴△NDM≌△KDM，

∴MN＝MK，设BC＝a，MN＝b，

∵BC＝2BE，

∴EB＝a，

∵BM∥CD，

∴，

∴BM＝a，

∵BK＝NH＝2a﹣a﹣b＝a﹣b，

在Rt△BMK中，∵MK2＝BM2+BK2，

∴b2＝（a）2+（a﹣b）2，

整理得： ＝，

∴．

故答案为：（1）FG＝EC，FG∥EC．（2）①结论不变，见解析，②．