Question

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，

（1）图①中，已知AF⊥BC , ∠B=50⁰，∠C=60⁰. 求∠DAF的度数.

（2）图②中，请你在直线AD上任意取一点E（不与点A、D重合），画EF⊥BC，垂足为F.已知∠B=α，∠C=β（β＞a）.求∠DEF的度数. （用α、β的代数式表示）

Answer

（1）∠DAF=5°（2）∠DEF=（β-α）

【解析】

试题根据三角形的内角和定理可求得∠BAC的度数，又因AD平分∠BAC，根据角平分线的定义可求得∠CAD的度数，再由垂直的定义可得∠AFC的度数，根据直角三角形的两锐角互余即可求得∠DAF的度数；（2）如图2，根据三角形的内角和定理可求得∠BAC的度数，又因AD平分∠BAC，根据角平分线的定义可求得∠CAD的度数，再由三角形的内角和定理求得∠ADC的度数，再由垂直的定义可得∠EFD的度数，根据直角三角形的两锐角互余即可求得∠DEF的度数；如图3，类比图2的方法解决问题即可.

试题解析：

(1)∵∠B=500，∠C=600，

∴∠BAC=180°－∠B-∠C=180°-500-600 =70°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD = ∠BAC =×70°=35°，

又∵AF⊥BC ，

∴∠AFC =90°，

∴∠CAF =90° －∠C =30°，

∴ ∠DAF =∠CAD -∠CAF =5°.

(2)① 如图，

图2

∵∠B=α，∠C=β，

∴∠BAC=180°－∠B-∠C=180°-(α+β)，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD = ∠BAC =[180°-(α+β)]=90°- (α+β)，

∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-[90°- (α+β)]- β=90°+α-β

又∵EF⊥BC ，

∴∠EFD=90°，

∴∠DEF =90° －∠ADC =90°-[90°+α-β]=（β-α）.

②如图，

图3

∵∠B=α，∠C=β，

∴∠BAC=180°－∠B-∠C=180°-(α+β)，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD = ∠BAC =[180°-(α+β)]=90°- (α+β)，

∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-[90°- (α+β)]- β=90°+α-β

∴∠ADC=∠EDF=90°+α-β，

又∵EF⊥BC ，

∴∠EFD=90°，

∴∠DEF =90° －∠EDF =90°-[90°+α-β]=（β-α）.