Question

如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；

（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；

（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ACN仍为等腰直角三角形，证明见解析．

【解析】

试题（1）由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM，从而证到M为AN的中点．

（2）易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．

（3）同（2）中的解题可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°﹣∠CBN，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．

试题解析：【解析】
（1）证明：如图1，

∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵点M为DE的中点，∴DM=EM．

在△ADM和△NEM中，∵，∴△ADM≌△NEM（AAS）．

∴AM=MN．∴M为AN的中点．

（2）证明：如图2，

∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．

∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN为等腰直角三角形．

（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明如下：

如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．

∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．

∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN为等腰直角三角形．